Calculo Numerico Unidad 1 y 2

Curso Básico de Cálculo Numérico

Introduccion:

1.1 Introducci on

El

C alculo Num erico o como tambi en se le denomina, el An alisis num erico, es la rama de las Matem aticas que estudia los m etodos num ericos de resoluci on de problemas, es decir, los m etodos que permiten obtener una soluci on aproximada

(en ocasiones exacta) del problema considerado tras realizar un n umero finito  de

operaciones l ogicas y algebraicas elementales.

Los problemas que trata el An alisis num erico se pueden clasicar en dos grandes

grupos, seg un tengan naturaleza num erica (o nito{dimensional) o naturaleza fun-

cional (o in nito{dimensional). Pertenecen al primer grupo los problemas relativos a

la resoluci on de sistemas de ecuaciones lineales, c alculo de valores y vectores propios,

y resoluci on de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales. Son del segundo

tipo, por el contrario, los problemas de interpolaci on y aproximaci on de funciones, la

derivaci on e integraci on num ericas, los problemas de valor inicial y de contorno para

ecuaciones diferenciales ordinarias, y los problemas de contorno para ecuaciones en

derivadas parciales.

El desarrollo del An alisis num erico como disciplina con entidad propia ha ido

indisolublemente ligado a la vertiginosa evoluci on que los ordenadores han experi-

mentado desde su aparici on en la d ecada de los a~nos cuarenta. No en vano, los

ordenadores son herramientas imprescindibles para aplicar con e cacia la inmensa

mayor a de los m etodos que el An alisis num erico propone, dado el considerable vo-

lumen de c alculos y manipulaciones de datos que suelen llevar aparejados.

1.2 Noci on de Algoritmo

Los diferentes problemas que trata el C alculo Num erico son en s procedimientos

de aproximaci on que consisten en sucesiones de c alculos. Estos procedimientos se

llaman algoritmos.

Un

algoritmo

es un procedimiento que describe, sin ambiguedad posible, una

sucesi on nita de pasos que hay que realizar en un orden preciso, desde la intro-

ducci on de datos hasta la obtenci on de resultados.

Como veh iculo para describir los algoritmos se usar a un pseudoc odigo que es-

peci ca tanto los datos de entrada, como el proceso que se debe realizar sobre los

mismos para la obtenci on de los resultados deseados, as como la forma de salida de

estos ultimos. De esta forma, se puede esquematizar un algoritmo como sigue:

ENTRADA ⇒PROCESO⇒SALIDA

v

 

 

Por ejemplo, un algoritmo para el c alculo de la suma de Numeros reales

x1,....xn

Fuentes de error: errores de redondeo y de discretizaci on

La elaboraci on de algoritmos no s olo exige un buen conocimiento de los entes

matem aticos y los m etodos num ericos involucrados, sino tambi en un cierto cuidado

en la disposici on de los c alculos para minimizar, en la medida de lo posible, los

efectos indeseados e inevitables de los errores de redondeo que provienen del hecho

de que el ordenador no puede utilizar m as que una cantidad limitada de n umeros

racionales para representar todos los n umeros reales.

 

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